李文博(1992-)，男，辽宁人，博士生，主要从事结构工程研究(E-mail: );

王 宇(1977-)，男，河北人，副教授，博士生，主要从事结构地震响应分析方法研究(E-mail: ).

任意周期函数可通过傅里叶变换表示为三角级数展开式[1-2]。针对实际地震记录进行离散傅里叶变换，可将地震波分解为有限个不同频率的简谐振动之和[3-5]。文献[6]根据2008 年汶川地震广元曾家台的强震记录，将离散的加速度记录转化为包含了50 组不同频率的正弦波和余弦波，由此，确定了地震波加速度的主要构成。

本文将地震动加速度时程表示成正弦级数，将其积分给出速度通项构成的地震动速度时程的计算公式，将上述地震动速度时程再积分给出位移通项构成的地震动位移时程的计算公式。在PEER 数据库中选取Landers、Taft 和El-centro 波的加速度时程，利用本文给出的地震动加速度、速度和位移时程的公式分别计算该三种地震动的加速度、速度和位移时程，并与数据库提供的这三种地震动的加速度、速度和位移时程进行对比，验证本文给出的加速度、速度和位移时程计算公式的正确性。

1 地震动时程的构成

1.1 地震动加速度时程的正弦级数

地震动加速度时程(t)是 定义在区间[ 0,T]上的非周期性离散型函数，其中T 为地震动持续时间。在区间[ -T,0]上 对(t)进行奇延拓并周期延拓，可得地震动加速度时程展开成正弦级数构成的计算公式为：

式中： Agisinθit为加速度通项；Agi和θi分别为第i 个加速度通项系数和激励频率，具体计算公式如下：

利用式(2)和式(3)给出一系列Agi和θi，进而给出加速度通项 Agisinθit，再利用式(1)将加速度通项求和即可构成地震动加速度时程。

1.2 地震动速度时程计算公式

将式(1)进行积分，可得地震动速度时程为；

式中，C1为积分常数。

利用地震动初速度为零的条件，得：

将式(5)代入式(4)，得地震动速度时程构成的计算公式：

式(6)中 (-Agi/θi)cosθit+Agi/θi为速度通项。由式(6)可见，速度通项包含余弦项和常数项，速度通项求和构成地震动速度时程。

1.3 地震动位移时程计算公式

将式(6)进行积分，可得地震动位移时程为：

式中，C2为积分常数。

利用地震动初位移为零的条件，易得C2=0，则地震动位移时程构成的计算公式为：

2 地震动时程构成计算公式的验证

利用PEER 数据库分别选取Landers(RSN879-H1)、Taft(RSN15-H1)和El-centro(RSN6-H1)波的加速度时程，该三种地震动的持续时间分别为48.12 s、54.34 s 和57.31 s，其中Landers 为含速度脉冲的近场地震动。由式(1)、式(6)和式(8)可见，为了得到这三种地震动加速度、速度和位移时程需要计算Agi和θi，可采用矩形法[7]、梯形法或者辛普森法[8-9]计算式(2)中的定积分以获得Agi。本文采用辛普森法，利用MATLAB[10]软件编程实现定积分的计算，最后由式(1)、式(6)和式(8)分别给出前3000 项叠加的该三种地震动的加速度、速度和位移时程，并与数据库中这三种地震动的加速度、速度和位移时程曲线进行对比，以验证式(1)、式(6)和式(8)的正确性。

图1、图2 和图3 分别为计算公式给出的Landers、Taft 和El-centro 地震动加速度、速度和位移时程与数据库中三种地震动加速度、速度和位移时程的对比曲线。

图 1 Landers 波加速度、速度和位移时程对比曲线Fig. 1 Time history comparisons of acceleration 、velocity and displacement of Landers wave

图 2 Taft 波加速度、速度和位移时程对比曲线Fig. 2 Time history comparisons of acceleration、velocity and displacement of Taft wave

图 3 El-centro 波加速度、速度和位移时程对比曲线Fig. 3 Time history comparisons of acceleration、velocity and displacement of El-centro wave

由图1(a)、图2(a)和图3(a)可见，式(1)计算给出的Landers、Taft 和El-centro 的加速度时程曲线与数据库中对应的加速度时程曲线完全一致，表明式(1)给出的地震动加速度时程构成计算公式正确。由图1(b)、图2(b)和图3(b)可见，式(6)计算给出的Landers、Taft 和El-centro 的速度时程曲线与数据库中对应的速度时程曲线完全一致，表明式(6)给出的地震动速度时程构成计算公式正确。由图1(c)、图2(c)和图3(c)可见，式(8)计算给出的Landers 和Taft 的位移时程曲线与数据库中对应的位移时程曲线完全一致，而El-centro 位移时程曲线除末端略有差别外，其它处的位移时程曲线与数据库中对应的位移时程曲线完全一致，表明式(8)给出的地震动位移时程构成计算公式正确。